Consommateur

Les fondements de la microéconomie débutent avec le comportement du consommateur. On veut prédire ce que ferait un consommateur dans une situation donnée. On veut faire du sens des comportements observés. La théorie paraîtra simpliste, mais de ces fondements, on sera capable d’assez bien prédire le comportement économique des consommateurs. Des raffinements existent, certains ont même révisé les fondements pour y introduire une approche comportementale où les individus ont des biais, répondent aux émotions, à des limites cognitives, etc.

Distribution au consommateur fut une chaine de ventes de biens de consommation très populaire au Canada et aux États-Unis où les usagers commandaient les biens par le biais un catalogue (et formulaire) et passaient les chercher dans un magasin. Un ancêtre de Amazon à une époque où l’internet n’était pas encore arrivé.

Préférences

Préférences définies sur des paniers de biens et services

• Panier: vecteur de quantités \(X = (X_1, X_2,\cdots,X_n)\).

• Pour deux paniers \(A\) and \(B\), préférences dictent lequel est préféré

• Préférences sont comme des listes de souhaits (hiérarchisée): Elles ignorent les prix et les ressources.

• Les relations de préférences sont dénotées par \(\succ,\succeq,\sim\).

Hypothèses importantes sur les préférences

Des hypothèses (ou axiomes) sont nécessaires pour en arriver à une théorie du comportement du consommateur. On note les plus importantes:

Exhaustive

Pour tous paniers A et B soit le consommateur:

• préfère toujours A à B (\(A\succ B\))

• préfère toujours B à A (\(B\succ A\))

• est indifférent entre A et B (\(A \sim B\))

Transitivité

Si trois paniers A, B, C tels que \(A\succ B\), \(B \succ C\), alors le consommateur préfère A à C (\(A \succ C\)).

Cette hypothèse paraît logique. Mais elle n’est pas toujours vérifiée…

Non-satiation

Dans sa forme la plus simple, cet axiome implique que

• Si A contient au moins autant que le panier B, strictement plus d’au moins un bien dans le panier, alors \(A \succ B\).

• Version faible (\(A \succeq B\),indifférence ou préférence) est raisonnable

• Étiquette des biens: les biens sont désirables (qualité air au lieu de pollution).

Il est peu pratique de fonctionner avec des listes de préférences pour modéliser les comportements. Par exemple, comment prédire l’effet d’un changement de prix avec une liste de préférence? On voudra se rapprocher de l’analyse marginale pour rendre ceci plus pratique.

Par ailleurs, les préférences sont très différentes d’une personne à l’autre (et d’un pays à l’autre). Falk et co-auteurs (2018) ont analysé les préférences dans 76 pays dans un nombre de domaines.

Les listes en Python peuvent être utilisées pour créer des préférences et prédire un choix sur la base d’une paire de choix possible. Que va retourner la fonction ici-bas?

import numpy as np

prefs = ['12 angry men','casablanca','taxi driver','out of africa']

def choix(pair,prefs):
     ii = [prefs.index(p) for p in pair]
     return pair[np.argmin(ii)]

choix(['out of africa','casablanca'],prefs)

Voir aussi

Netflix analyse les notes qu’on donne aux films qu’on regarde. Ceci aide Netflix à proposer des films qu’on est susceptible d’aimer, ce qui réduit notre temps à chercher et augmente notre expérience sur sa plateforme. En analysant ces choix, Netflix apprend sur nos préférences. En regardant les attributs des films que nous avons aimé, est en mesure de proposer des films similaires. Qui a dit que d’étudier les préférences n’était pas branché?

Courbes d’indifférence et TMS

Le premier outil est celui des courbes d’indifférence dans un espace réel (quantités de plusieurs biens).

Deux biens \(X,Y\):

• Pour tout panier \((X_0,Y_0)\), combinaisons \((X,Y)\) telles que le consommateur est indifférent entre \((X,Y)\) et \((X_0,Y_0)\)

• Courbe indifférence vers le haut indique niveau utilité plus élevé (non-satiation)

Proposition: Les courbes d’indifférence ne se croisent pas si elles respectent la transitivité.

À faire

Exercice A: Montrez que cette proposition est vraie.

Taux marginal de substitution (TMS)

Ces courbes d’indifférences contiennent plus d’information qu’on croit …

Pour un panier \((X_0, Y_0)\), TMS de \(X\) en fonction de \(Y\): Quantité du bien \(Y\) que le consommateur est prêt à sacrifier pour avoir une unité de plus de \(X\). Il s’agit donc de la valeur que le consommateur porte sur un bien \(X\) en terme d’unités d’un autre bien \(Y\). Le TMS correspond à la pente de la courbe d’indifférence à \((X_0,Y_0)\).

Convexité des courbes d’indifférences

Si la quantité de nourriture (\(X\)) augmente, comment le TMS de \(X\) en fonction de \(Y\) change?

Il diminue généralement. Ceci est représenté par des courbes d’indifférences convexes (la pente de la courbe d’indifférence diminue quand X augmente). Même s’il y a non-satiation, on accepte généralement que l’intensité de la préférence associée à une unité additionnelle soit plus faible avec le nombre d’unités consommées.

Utilité

Les courbes d’indifférence nous permettent de passer vers une représentation des préférences par une fonction. Sur la courbe d’indifférence, chacun des paniers procure le même bien-être. Nous pouvons lui attribuer une valeur ou utilité (arbitraire). En sautant d’une courbe d’indifférence à une autre (plus élevée), on augmente l’utilité. Donc, on peut construire une fonction \(u(X,Y)\) qui représente ces préférences. La valeur de cette fonction est donc ordinale (elle permet de classer les paniers en ordre de préférence). Ce n’est que l’ordre qui compte.

Fonction d’utilité: assigne un nombre à chaque panier. \(u\) représente les préférences si et seulement si \(A \succ B \Rightarrow u(A) > u(B)\) et \(u(A) > u(B) \Rightarrow A \succ B\)

Les préférences sont ordinales (hiérarchiques). Si \(f\) est une fonction strictement croissante et \(u\) représente des préférences, alors \(g(X) = f(u(X))\) représente les mêmes préférences.

\[u(X) > u(Y) \iff f(u(X)) > f(u(Y))\]

Important

La valeur de l’utilité n’a pas de signification, c’est l’ordonnancement des paniers en terme d’utilité qui est important.

Exemple: \(u(X,Y) = \log X + \log Y\) et \(g(X,Y) = XY\) représente les mêmes préférences.

À faire

Exercice B: Montrez que \(u\) et \(g\) dans l’exemple ont les mêmes préférences en trouvant la transformation \(g=f(u)\).

À faire

Voir la représentation d’une fonction d’utilité et des courbes d’indifférence EconGraph.org

Comment trouver le TMS à partir de l’utilité?

• Deux biens \(X\), \(Y\). Préférences représentées par la fonction d’utilité \(u(X,Y)\)

• e.g. \(u(X,Y) = \log X + \log Y\)

On peut écrire une fonction d’utilité de la forme:

import numpy as np

def u(x,y,alphas):
   return alphas[0]*np.log(x) + alphas[1]*np.log(y)

u(1.0,1.0,[0.5,0.5])

Que retounera l’appel à la fonction u()?

TMS de \(X\)

• Combien de \(Y\) sacrifier pour davantage de \(X\)

• Formellement: si on augmente \(X\) de \(\Delta X\) quel est le changement \(\Delta Y\) qui conserve l’indifférence?

Calculons le TMS de \(X\). Prenons la différentielle totale:

\[\begin{aligned} du = \frac{\partial u}{\partial X}dX + \frac{\partial u}{\partial Y}dY\end{aligned}\]

Posons \(du = 0\) tel que l’utilité est fixe. Alors

\[\frac{dY}{dX}\bigg\rvert_{du=0} = -\frac{\partial u}{\partial X}/ \frac{\partial u}{\partial Y}\]

Important

Le TMS mesure l’intensité de notre préférence pour un bien en terme de la quantité qu’on est prêt à sacrifier d’un autre bien. Il résume nos préférences pour deux biens et est comparable entre consommateurs. On peut l’interpréter comme une disposition à payer.

On peut écrire les utilités marginales en python:

import numpy as np

def mu_x(x,y,alphas):
   return alphas[0]/x
def mu_y(x,y,alphas):
   return alphas[1]/y

Et finalement le TMS:

def tms(x,y,alphas):
   umx = mu_x(x,y,alphas)
   umy = mu_y(x,y,alphas)
   return - umx/umy

Note

En général, il est utile de construire nos fonctions comme une série de poupées russes: une fonction appelle une fonction qui appelle une autre fonction. Si on change la forme de la fonction d’utilité, on a besoin de changer les fonctions mu_x() et mu_y() mais pas tms().

À faire

Familiarisez vous avec les courbes d’indifférence et le TMS à Econgraph.org

Contrainte budgétaire

Jusqu’ici, le consommateur a tous les paniers devant lui et a des préférences sur ceux-ci. Il peut tout avoir! En pratique, Il pourra acheter les biens, mais à un prix. Et ce prix est important parce qu’il a une richesse limitée pour consommer. Tout achat a un coût d’opportunité.

• On ne peut pas dépenser davantage que notre richesse \(I\)

• Deux biens \(X\), \(Y\): Contrainte: \(p_X X + p_Y Y \leq I\). Cette contrainte donne ce qui est abordable étant donné \(I\)

• En posant l’égalité, on peut résoudre pour \(Y\) en termes de \(X\): \(Y = \frac{I - p_X X}{p_Y}\)

Le prix relatif entre \(X\) et \(Y\) en respectant la contrainte est:

\[\frac{dY}{dX} = -\frac{p_X}{p_Y}\]

Acheter une unité de \(X\) implique un sacrifice de \(\frac{p_X}{p_Y}\) unités de \(Y\). C’est le coût d’opportunité de \(X\) en termes de \(Y\).

Dans l’espace \((X,Y)\), la contrainte représente les allocations possibles. Celles au dessus ne sont pas possibles. Seules celles entre l’origine est la contrainte sont possibles…

Normalisation

• Contrainte budgétaire demeure la même si prix et richesse sont multipliés par la même constante \(\lambda\).

• On peut acheter les mêmes biens. Seul le pouvoir d’achat et les prix relatifs sont importants.

• Normalisons \(p_Y = 1\). Alors \(Y = I - p_X X\). \(p_X\) est maintenant en termes de quantité de \(Y\) (numéraire) et idem pour \(I\).

Seuls les prix relatifs affectent l’allocation.

À faire

Exercice C: Montrez qu’une contrainte budgétaire ne change pas si on multiplie prix et revenu par \(\lambda>0\).

À faire

Vous pouvez parfaire vos intuitions sur la contrainte budgétaire à Econgraph.org

Choix du consommateur

La contrainte est fixe. Le consommateur peut choisir la courbe d’indifférence sur laquelle il sera, et donc quelle combinaison il consommera étant donné la contrainte. Quel est le plus haut niveau d’utilité qu’il peut atteindre sur la contrainte?

On ne peut pas aller sur une courbe d’indifférence plus élevée que la contrainte. Toutes les courbes plus basses sont sous-optimales. La courbe d’indifférence qui touche la contrainte (souvent tangente) donne le meilleur niveau de bien-être possible.

Les points A, C et D sont possibles étant donné la contrainte. Donc, le point B peut être éliminé même si le TMS (pente au point B) semble très près du rapport du prix. Le point D peut être éliminé parce que le consommateur ne consomme pas tout son budget. Il peut donc aller sur une autre courbe d’indifférence en augmentant sa consommation des deux biens. Les allocations A et C dépensent tout le budget. Mais C n’est pas optimal. En valeur absolue, le TMS est plus élevé que le coût d’opportunité de consommer une unité de X additionnel. Donc, on peut augmenter X et réduire Y tout en augmentant l’utilité. Le point A est optimal, le TMS est égal au rapport de prix.

À faire

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Approche Directe

Le problème est

• Maximiser \(u(X,Y)\) étant donné la contrainte \(p_X X+ p_YY = I\)

Étape 1: Substituer la contrainte

• Si achète \(X\) alors on consomme \(Y(X) = \frac{I - p_X X}{p_Y}\)

• Utilité seulement fonction de \(X\): \(h(X) = u(X,Y(X))\)

Étape 2: Maximiser sans contrainte

• Prendre condition de premier ordre (CPO)

La CPO:

\[\frac{dh}{dX} = 0 \iff \frac{du}{dX} + \frac{dY}{dX}\frac{du}{dY} = 0\]

\[\iff \frac{du}{dX}\Bigg/\frac{du}{dY} = \frac{p_X}{p_Y}\]

Important

À l’optimum, le TMS sur la courbe d’indifférence est égal à la pente de la contrainte budgétaire. La disposition à payer (TMS), provenant des préférences, est égal au coût d’opportunité (prix relatif), provenant de la contrainte.

À faire

Exercice D: Trouvez les demandes pour \(u(x, y) = XY\) sous la contrainte \(p_X X + p_Y Y \le I\).

Comme alternative, on peut poser le lagrangien:

\[L(X,Y,\lambda) = u(X,Y) - \lambda (p_X X + p_Y Y - I)\]

Si on maximise: \(\max_{X,Y,\lambda} L(X,Y,\lambda)\), les CPO sont

\[\begin{split}u'_X(X,Y) - \lambda p_X = 0 \\ u'_Y(X,Y) - \lambda p_Y = 0 \\ p_X X + p_Y Y = I\end{split}\]

En prenant le ratio des deux premières CPO, on a:

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{u'_X(X,Y)}{u'_Y(X,Y)} = \frac{p_X}{p_Y} \\ p_X X + p_Y Y = I\end{aligned}\end{split}\]

Le TMS est égal au rapport de prix et le contrainte budgétaire est satisfaite à l’optimum.

À faire

Exercice E: Trouvez les demandes pour \(u(X, Y) = XY\) comme précédement mais par le lagrangien.

Les demandes \(X^*(p_X,p_Y,I)\) et \(Y^*(p_X,p_Y,I)\) sont appelées demandes marshalliennes (Alfred Marshall).

Pour une fonction cobb-douglas du type: \(u(X,Y)=X^{\alpha}Y^{1-\alpha}\), on a les demandes \(X(p_X,p_Y,I) = \alpha \frac{I}{p_X}\) et \(Y(p_X,p_Y,I) = (1-\alpha)\frac{I}{p_Y}\). On peut les programmer directement.

def x_d(p_x,p_y,I,alpha):
   return alpha*I/p_x
def y_d(p_x,p_y,I,alpha):
   return (1-alpha)*I/p_y

x_d(1,1,100,0.5)

Qu’est-ce que retournera l’appel à la fonction x_d()?

Utilité Indirecte

L’utilité indirecte \(v(p_X,p_Y,I)\) est le niveau d’utilité maximale atteint avec les prix \((p_X,p_Y)\) et le revenu \(I\),

\[v(p_X,p_Y,I) = \max_{X,Y} \{ u(X,Y) : p_X X + p_Y Y \le I\}.\]

Cette fonction est très utile. Par définition,

\[v(p_X,p_Y,I) = u(X^*(p_X,p_Y,I),Y^*(p_X,p_Y,I))\]

Elle permet de prendre un raccourci et calculer directement l’utilité qu’un consommateur dérive d’une contrainte budgétaire s’il maximise l’utilité.

Une fonction d’utilité indirecte peut être programmé directement. Dans le cas Cobb-Douglas ici-haut, on a

\[v(p_X,p_Y,I) = \alpha^{\alpha}(1-\alpha)^{1-\alpha} \frac{I}{p_X^{\alpha}p_Y^{1-\alpha}}\]

et donc on peut programmer

def v(p_x,p_y,I,alpha):
   base = (alpha**alpha) * ((1-alpha)**(1-alpha))
   return base * I / ((p_x**alpha) * (p_y**(1-alpha)))

On peut aussi utiliser le principe de la poupée russe…

def u(x,y,alpha):
   return (x**alpha) * (y**(1-alpha))

def v(p_x,p_y,I,alpha):
   xstar = x_d(p_x,p_y,I,alpha)
   ystar = y_d(p_x,p_y,I,alpha)
   return u(xstar,ystar,alpha)

La deuxième stratégie est plus générale…

Préférences

Plusieurs formes de fonction d’utilité sont utilisées en analyse micro. Les exercices suivant vous permettront de comprendre leurs propriétés.

À faire

Exercice F: Trouvez les fonctions de demande pour la fonction d’utilité quasi-linéaire \(u(X,Y) = \sqrt(X) + Y\).

À faire

Exercice G: Trouvez les fonctions de demande pour la fonction d’utilité cobb-douglas \(u(X,Y) = X^{1/3}Y^{2/3}\).

À faire

Exercice H: Trouvez les fonctions de demande pour la fonction d’utilité leontief \(u(X,Y) = \min(X,Y)\).

Exemple Consommateur

Voir ce notebook pour un bel exemple qui utilise Python pour résoudre le problème du consommateur avec fonction d’utilité CES (Constant Elasticity of Substitution)